Els nombres irracionals

10 10 2009

Φίλοι,

Aquests dies a classe estem treballant la unitat didàctica dedicada als nombres reals. Hem parlat d’un dels seus subconjunts, el dels nombres irracionals, és a dir, aquells nombres que no es poden escriure en forma de fracció. Són nombres irracionals, entre altres, \sqrt{2}, \pi, e o el nombre d’or, que ens el va anomenar el David Ramos. Feu un cop d’ull als enllaços anteriors…

Demostrar que un nombre és irracional pot ser una feina molt i molt feixuga. Així, a tall d’exemple, no va ser fins el s. XVIII que es demostrà, per part de Lambert, que \pi és irracional.

Hi ha, però, una demostració que resulta especialment simple: la irracionalitat de \sqrt{2}. Aquesta es fa pel que s’anomena reducció a l’absurd; això és, suposarem que \sqrt{2} sí es pot expressar en forma de fracció (en contra del que, de fet, volem demostrar), per tant: \sqrt{2}=\dfrac pq, on p,q \in \mathbb{Z}, és a dir, nombres enters diferents de zero. La fracció \dfrac pq és irreductible.

Ara, elevem al quadrat, 2=\left(\dfrac pq\right)^2 i, per tant, 2q^2 = p^2. Aquesta darrera expressió ens diu que p^2 és parell i, per tant, també ho és p i podem escriure p=2k, on k\in \mathbb{Z}. Amb això tenim:

p^2=(2k)^2=4k^2

i com p^2=2q^2 arribem a què 2q^2=4k^2, d’on concluem que q^2=2k^2, és a dir, tenim que q^2 és parell i, per tant, també q. Però, si p i q són tots dos parells, la fracció \dfrac pq no és irreductible, en contra del que havíem suposat. Conclusió: \sqrt{2} NO es pot escriure en forma de fracció; és a dir, \sqrt{2} és irracional.

Que ningú no s’espanti… Segurament us enfronteu a la vostra primera demostració matemàtica, per cert, amb molta lletra i pocs nombres!! M’atreveixo a fer-vos dos preguntes referents a la demostració:

  1. Per què podem suposar que la fracció \dfrac pq és irreductible?
  2. Si un nombre és parell, també ho és el seu quadrat. Per què?

« »


Accions

Informació

2 respostes

14 10 2009
Salma Benbouhia Chouhiabi (20:03:23) :

Ho sento Álvar però aixo no ho he entés. M’agradaria que ens ho expliquessis a la classe.

14 10 2009
Àlvar (20:38:14) :

No t’amoïnis, Salma. Suposo que és la primera vegada que us “dediquen” una demostració i, quan això passa, vas molt perdut, ja no només perquè et perds en la demostració, sinó també perquè no acabes d’entendre què ens proposem amb la demostració.
Quedem, doncs, que la comentarem a classe!

Deixa un comentari