EPPA. Curs 08-09

Unitat 1: Conjunts numèrics

  1. El conjunt dels nombres reals.
    1. Nombres naturals, enters i racionals.
    2. Nombres irracionals.
  2. Ordre a la recta real. Intervals.
  3. Estimació i aproximació de quantitats.
    1. Truncament i arrodoniment.
    2. Errors.
  4. Potències i radicals.
  5. Notació científica.
  6. Logaritmes: definició i propietats. (Avaluació de logaritmes: EPPA 1 i EPPA 2.)

Activitats TAC Unitat 1

Model examen Unitat 1

Exàmens Unitat 1: EPPA 1 i EPPA 2

Unitat 2: Polinomis
  1. Expressions algebraiques: monomis i polinomis.
    1. Coeficients, part literal i grau d’un monomi i d’un polinomi.
  2. Operacions amb polinomis.
    1. Suma, resta i producte.
    2. Productes notables.
    3. Divisió.
  3. Divisió d’un polinomi per un polinomi del tipus x-a.
    1. Regla de Ruffini.
    2. Teorema del residu.
  4. Factorització de polinomis.
  5. Càlcul i simplificació de fraccions algebraiques.

Video explicatiu en què s’ensenya com dividir polinomis:

Problemes per presentar 1: EPPA 1, EPPA 2

Problemes per presentar 2: EPPA 1, EPPA 2

Exàmens de la unitat 2: EPPA 1, EPPA 2

Aquí us deixo les SOLUCIONS, esquemàtiques (es pretén que refeu l’examen), dels dos exàmens de polinomis:

EPPA 1

P1.- (a) 3\cdot Q(x) - R(x)= 6x^3+3x^2-2x-5; (b) (P(x)+Q(x))\cdot R(x) = 4x^4+2x^3-6x^2+1; (c) quocient = 2x+5, residu =8x-7; (d) (R(x))^2=4x^2-4x+1.

P2.- (a) P(x)=2x^3+mx^2+4x+1 divisible per x+1 vol dir que P(-1)=0. Aleshores, trobem que P(-1)=m-5=0 \Rightarrow m=5. (b) Dividim el polinomi P(x)=2x^3+mx^2+4x+1 per x-1 i el residu ha de ser -1. Aleshores, P(1)=-1 \Rightarrow m+7=-1 \Rightarrow m=-8.

P3.- (a) Quocient = x^4-x^3-x^2-3 i residu = 3; (b) Quocient = 2x^3+4x^2+5x+12 i residu = 23.

P4.- (a) P(x)=x^4+x^3-5x^2+3x=x\cdot (x-1)^2\cdot (x+3); (b) Q(x)=x^3-3x^2-6x+8=(x-4)\cdot (x-1)\cdot (x+2).

P5.- (a) \dfrac{x-2}{x-1}-\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)}-\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{-4x+6}{(x-1)(x-3)}; (b) \dfrac{(x+1)^2}{x^2-1}\cdot \dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2\cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)\cdot (x+1)}=1.

EPPA 2

P1.- (a) P(x)-3\cdot Q(x) = -x^2-17x; (b) (P(x)-5\cdot Q(x))\cdot R(x)=-28x^3-92x^2-79x-6; (c)Quocient = \frac 12 x - \frac{13}4, residu = \frac {51}4; (d) 4x^2+12x+9.

P2.- (a) P(x)=x^3+ax^2-3x+4 divisible per x-2 vol dir que P(2)=0. Aleshores, trobem que P(2)=4a+6=0 \Rightarrow m=-\frac 46=-\frac 32. (b) Dividim el polinomi P(x)=x^3+ax^2-3x+4 per x+1 i el residu ha de ser -2. Aleshores, P(-1)=-2 \Rightarrow a+6=-2 \Rightarrow a=-8.

P3.- (a) Quocient = 4x^2+6x+6, residu =9; (b) Quocient = 5x^5-10x^4+17x^3-31x^2+62x-131, residu =262.

P4.- (a) P(x)=x^3+2x^2-9x-18=(x-3)\cdot (x+2)\cdot (x+3); (b) Q(x)=x^4-x^3-3x^2+x+2=(x-2)\cdot (x-1)\cdot (x+1)^2.

P5.- (a) \dfrac{1}{x+2}+\dfrac 1{x+1}= \dfrac{x+1}{(x+2)(x+1)}+\dfrac{x+2}{(x+2)(x+1)}=\dfrac{2x+3}{(x+2)(x+1)}; (b) \dfrac{x-1}{x-3}:\dfrac{x^2-1}{x^2-9}=\dfrac{x-1}{x-3}:\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x+3}{x+1}.

Unitat 3: Equacions I
  1. Equacions de primer grau amb denominadors.
  2. Problemes que es resolen mitjançant equacions de primer grau.
  3. Repàs equacions de segon grau i problemes que es resolen mitjançant equacions de segon grau.
  4. Nombres complexos.
    1. Origen dels nombres complexos: equacions de segon grau amb radicand negatiu.
    2. Operacions amb nombres complexos.
  5. Sistemes d’equacions de primer grau: resolució i problemes.

Exàmens de la unitat 3: EPPA 1, EPPA 2

Aquí us deixo les SOLUCIONS, esquemàtiques (es pretén que refeu l’examen), dels dos exàmens de la unitat 3:

EPPA 1

P1.- (a) A l’equació \dfrac{x-10}2-\dfrac{x-20}4-\dfrac{x-30}3=5 en primer lloc caldrà eliminar les fraccions. Tenint present que \text{mc.m.}(2,4,3)=12, l’equació donada és equivalent a l’equació \dfrac{6(x-10)}{12}-\dfrac{3(x-20)}{12}-\dfrac{4(x-30)}{12}=\dfrac{60}{12} o, també, 6x-60-3x+60-4x+120=60. D’aquí deduïm la solució, x=60. (b) Per resoldre el sistema, només hem de multiplicar (per exemple) la primera equació per 3 (o, també, per 2). Així, quedarà -3x+6y=6. Sumant-li, ara la segona equació, obtenim y=2. I, d’aquí, substituint a qualsevol de les dues equacions del sistema original, x=2.

P2.- (a) Comencem aplicant la fórmula de resolució per a l’equació de segons grau. Aleshores: x= \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}=\dfrac{2\pm \sqrt{-16}}{2}. Com hem demanen resoldre l’equació en el conjunt dels nombres complexos, \pm \sqrt{-16} admet solució, \pm \sqrt{-16}= \pm 4i, on i és la unitat imaginària. Finalment, i prèvia simplificació, trobem que la solució és x=-1\pm 2i. (b) Procedint com en l’apartat anterior, x= \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 17}}{2} = \dfrac{-2\pm \sqrt{-64}}{2}=-1\pm 4i.

P3.- (a) -z=-2+3i; (b) \overline{z}=2+3i; (c) -\overline{z}=-2-3i; (d) \dfrac 1z = \dfrac 1{2-3i}=\dfrac 1{2-3i}\cdot \dfrac {2+3i}{2+3i} = \dfrac{2+3i}{2^2-(3i)^2} = \dfrac{2+3i}{13}, on hem introduït que i^2=-1.

P4.- (a) z_1+z_2=5+2i; (b) z_1-(z_2+z_3)=-1-9i; (c) z_1\cdot z_2 = 9+7i; (d) \dfrac{z_2}{z_3}=\dfrac{2+3i}{2+5i}\cdot \dfrac{2-5i}{2-5i}=\dfrac {19}{29}-\dfrac{4i}{29}.

P5.- (a) Sigui x l’edat que tinc ara. D’aquí 12 anys tindré x+12 i fa 6 anys tenia x-6. Per tant, l’equació que descriu la situació de l’enunciat és x+12=3(x-6). La seva solució és x=15; és a dir, tinc 15 anys. (b) L’edat d’un pare i d’un fill sumen 40. Sigui x l’edat del pare; aleshores, el fill tindrà 40-x. D’altra banda, l’edat del pare és 7 vegades l’edat del fill. Per tant, x=7(40-x). D’aquí deduïm x=35. Així, el pare té 35 anys i el fill 40-35=5 anys.

P6.- Sigui x l’amplada del terreny rectangular. Com fa 10 m més de llargada que d’amplada, x+10 és la mesura de l’amplada. Finalment, atès que la seva superfície (àrea) és de 1739 \text{m}^2, l’equació a resoldre és x(x+1)=1739. D’aquí deduïm x=37 m (la solució negativa no ho és del nostre problema). L’amplada, doncs, val 37 m i la llargada 47 m.

EPPA 2

P1.- (a) A l’equació \dfrac{4x+3}5-\dfrac{x-2}4=2-\dfrac{x+3}6 en primer lloc caldrà eliminar les fraccions. Tenint present que \text{mc.m.}(5,4,6)=60, l’equació donada és equivalent a l’equació \dfrac{12(4x+3)}{60}-\dfrac{15(x-2)}{60}=\dfrac{120}{60}-\dfrac{10(x+3)}{60} o, també, 48x+36-15x+30=120-10x-30. D’aquí deduïm la solució, x=\dfrac{24}{43}. (b) Per resoldre el sistema, només hem de multiplicar (per exemple) la primera equació per 3. Així, quedarà 9x-3y=6. Sumant-li, ara la segona equació, obtenim x=1. I, d’aquí, substituint a qualsevol de les dues equacions del sistema original, y=1.

P2.- (a) Comencem aplicant la fórmula de resolució per a l’equació de segons grau. Aleshores: x= \dfrac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 85}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{-324}}{2}. Com hem demanen resoldre l’equació en el conjunt dels nombres complexos, \pm \sqrt{-324} admet solució, \pm \sqrt{-324}= \pm 18i, on i és la unitat imaginària. Finalment, i prèvia simplificació, trobem que la solució és x=2\pm 9i. (b) Procedint com en l’apartat anterior, x= \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 17}}{2} = \dfrac{-2\pm \sqrt{-64}}{2}=-1\pm 4i.

P3.- (a) -z=-4-3i; (b) \overline{z}=4-3i; (c) -\overline{z}=-4+3i; (d) \dfrac 1z = \dfrac 1{4+3i}=\dfrac 1{4+3i}\cdot \dfrac {4-3i}{4-3i} = \dfrac{4-3i}{4^2-(3i)^2} = \dfrac{4-3i}{25}, on hem introduït que i^2=-1.

P4.- (a) z_1+z_2=5+2i; (b) z_1-(z_2+z_3)=-1-9i; (c) z_1\cdot z_2 = 9+7i; (d) \dfrac{z_2}{z_3}=\dfrac{2+3i}{2+5i}\cdot \dfrac{2-5i}{2-5i}=\dfrac {19}{29}-\dfrac{4i}{29}.

P5.- (a) Sigui x el nombre que busquem. Quan li sumem 4, x+4, resulta el doble del nombre menys una unita, 2x-1. Aleshores, l’equació que hem de resoldre és x+4=2x-1. D’aquí deduïm x=5. ATENCIÓ: també podíem haver interpretat l’enunciat com x+4=2(x-1). En aquest cas, x= 6 seria la solució. (b) Sigui x un nombre. Aleshores, el seu consecutiu és x+1. Atès que la diferència dels seus quadrats és 567, l’equació que cal resoldre és: (x+1)^2-x^2=567. El número que busquem és 283, que és la solució de l’equació anterior. El seu consecutiu és, per tant, 284.

P6.- Sigui x l’amplada del terreny rectangular. Com fa 60 m més de llargada que d’amplada, x+60 és la mesura de l’amplada. Finalment, atès que la seva superfície (àrea) és de 43200 \text{m}^2, l’equació a resoldre és x(x+1)=43200. D’aquí deduïm x=180 m (la solució negativa no ho és del nostre problema). L’amplada, doncs, val 180 m i la llargada 210 m.

Unitat 4: Equacions II
  1. Equacions irracionals.
  2. Sistemes d’equacions de segon grau: un exemple.
  3. Resolució d’equacions mitjançant factorització. (Aquí caldrà recordar la regla de Ruffini.)
  4. Equacions exponencials.
  5. Equacions logarítmiques.

Solucions al full extraordinari d’equacions exponencials i logarítmiques:

equacionsii

(a) 2\log x= 1 . D’aquí: \log x^2 = 1 i, aplicant la definició de logaritme, x^2 = 10 , és a dir, x= +\sqrt{10}. Atenció! La solució x=-\sqrt{10}, que també s’obté de x^2=10, no és vàlida en l’equació de l’enunciat, 2\log x= 1.

(b) De \log (x+2)=2 \log (3x-4) obtenim \log (x+2)=\log (3x-4)^2. Per tant, x+2=9x^2-24x+16. Ens queda, doncs, una equació de segon grau, x^2-25x+14=0, que té per solucions x=2 i x=\frac 79. D’aquestes, només és vàlida x=2.

(c) 2\log (x+3)=\log (2x+19) és equivalent a \log (x+3)^2=\log (2x+19). D’aquí, x^2+6x+9=3x+19. Passant tots els termes a un mateix costat de l’igual, i resolent l’equació de segon grau resultant, obtenim x=-5 i x=2. Només és vàlida, però, x=2.

(d) L’equació 2\log x - \log (x-16)=2 és equivalent a \log x^2 - \log (x-16) = 2. Alhora, aquesta ho és a \log \dfrac{x^2}{x-16}=2. Ara, aplicant la definició de logaritme, \dfrac{x^2}{x-16}=100, és a dir, x^2-100x+1600=0. Les solucions d’aquesta darrera equació són x=20 i x=80. En aquest cas, totes dues també són solucions de l’equació logarítmica original.

(e) Fixem-nos que 2^x + 5\cdot 2^x=12 equival a 6\cdot 2^x = 12. Per tant, 2^x = 2. És a dir, x=1. Aquesta mateixa equació també es pot resoldre amb el canvi de variable $t=2^x$.

(f) Am el canvi de variable t=7^x l’equació es transforma en t+\dfrac 1t=2, que també es pot escriure com t^2-2t+1=0. En aquest cas, no cal aplicar cap fórmula, doncs t^2-2t+1 és eldesenvolupament d’un producte notable, (t-1)^2. Per tant, l’equació a resoldre és (t-1)^2=0, amb solució t=1. Si desfem el canvi, 7^x = 1, obtenim x=1, la solució de l’equació original.

(g) De 4^{x+1}+16^{x+1}=2 tenim que 4\cdot 4^x+16\cdot 16^x=2, és a dir, 4\cdot 4^x+16\cdot (4^2)^x=2 o 4\cdot 4^x+16\cdot (4^x)^2=2. El canvi de variable a fer és t=4^x, que ens porta a l’equació de segon grau 16t^2+4t-2=0 o, simplificant els coeficients, 8t^2+2t-1=0. Les solucions són t=\frac 12 i t=-\frac 12. Aquesta darrera solució no ens permet obtenir cap valor de x. De la primera, i desfent el canvi, 4^x = \dfrac 14, tenim que x=-1, doncs \frac 14 = 4^{-1}.

(h) 5^x=3^{x+1}. Prenent logaritmes, x\cdot \log 5 = (x+1)\cdot \log 3, o també, 0.70x = (x+1)\cdot 0.48. Ens queda, doncs, una equació de primer grau amb solució x=2.1.

Exàmens de la unitat 4: EPPA 1, EPPA 2

Unitat 5: Geometria i trigonometria

  1. Teorema de Pitàgores.
  2. Mesura d’angles. El radian.
  3. Raons trigonomètriques d’un angle angut.
  4. Ús de la calculadora.
  5. Raons trigonomètriques dels angles de 30º, 45º i 60º.
  6. Resolució de triangles rectangles.
  7. Aplicació a triangles no rectangles.

Una demostració del teorema de Pitàgores:

Explicació bàsica sobre raons trigonomètriques i exemple d’aplicació:

Examen de la unitat 5: EPPA

Unitat 6: Vectors al pla
  1. Vectors.
    1. Definició. Mòdul, direcció i sentit d’un vector.
    2. Operacions amb vectors.
    3. Angle entre vectors. Paral·lelisme i perpendicularitat.
  2. Equacions de la recta.
  3. Posicions relatives de dues rectes.
  4. Distància d’un punt a una recta.

Vectors: elements característics:

Operacions amb vectors, gràficament:

Càlcul del mòdul d’un vector. Considerarem, a tall d’exemple, que volem calcular el mòdul del vector \vec{v}=(3,-4), i ho simbolitzarem com |\vec{v}|. Si representem el vector \vec{v}, tal i com vam, fer a classe, veurem que, el càlcul del mòdul, es redueix a aplicar el teorema de Pitàgores. Així:

|\vec{v}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

és el mòdul, o longitud, del vector \vec{v}.

Producte escalar de dos vectors. El producte escalar de dos vectors \vec{u} i \vec{v}, i l’escriurem \vec{u}\cdot \vec{v}, és una operació entre vectors que dóna, com a resultat, NO un vector, sinó un NOMBRE real. Existeix una primera definició per al càlcul d’aquest producte, en termes dels mòduls dels vectors i del cosinus de l’angle que formen aquests vectors en el pla:

\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos (\vec{u},\vec{v})

Però, si els vectors estan donats en components, \vec{u}=(u_x,u_y) i \vec{v}=(v_x,v_y), aleshores també es pot utilitzar la següent definició per al producte escalar:

\vec{u}\cdot \vec{v} = u_xv_x+u_yv_y

Angle entre dos vectors. Si igualem les dues expressions per al producte escalar, podem aillar el cosinus de l’angle que formen tots dos vectors i, a partir d’aquí, calcular precisament aquest angle:

|\vec{u}| |\vec{v}| \cos (\vec{u},\vec{v}) = u_xv_x+u_yv_y \quad \Rightarrow \quad \cos (\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{u_xv_x+u_yv_y}{|\vec{u}| |\vec{v}|}

Vectors perpendiculars. Si dos vectors són perpendiculars, o ortogonals, sabem, formen un l’angle de 90^\circ, (\vec{u},\vec{v})=90^\circ. Aleshores, i com \cos 90^\circ=0, tenim que \vec{u}\cdot \vec{v} = 0. Per tant, si el producte escalar de dos vectors és zero, aquests vectors són perpendiculars.

Unitat 7: Funcions

limits

Resolució Simulacre examen 1

simulacre_1P1.-

(a) 2\sqrt{18} + 3\sqrt{50}=2\sqrt{2\cdot 3^2} + 3\sqrt{2\cdot 5^2}=6\sqrt{2}+15\sqrt{2}=21\sqrt{2}

(b) \log 100 - \ln e^2=\log 10^2 - \ln e^2 = 2-2=0

(c) 2.1\hat{5}=\dfrac{215-21}{90}=\dfrac{194}{90}=\dfrac{97}{45}

(d) \dfrac{12a^2b^2}{24a^3b^{-1}} = \dfrac{b^4}{2a}

(e) \dfrac{\sqrt[4]{15}}{\sqrt[4]{5}}=\sqrt[4]{\dfrac{15}5}=\sqrt[4]{3}

(f) (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1

(g) \dfrac{5}{\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}5=\dfrac{5\sqrt{5}}5 - \dfrac{\sqrt{5}}5=\dfrac{4\sqrt{5}}5

(h) 2\sqrt{45}-3\sqrt{125}+2\sqrt{180}=2\sqrt{3^2\cdot 5}-3\sqrt{5^3}+2\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 5}=

=6\sqrt{5}-15\sqrt{5}+12\sqrt{5}=3\sqrt{5}

P2.-

(a) En primer lloc, cal treure denominador comú: \dfrac{15(x+1)}{10}-\dfrac{10x}{10}=\dfrac{2(x-4)}{10}, equació que és equivalent a 15(x+1)-10x=2(x-4). Resolent els parèntesis i reordenant obtenim 15x-10x-2x = -8-15. Per tant, la solució serà x=-\dfrac {23}3.

(b) Si multipliquem la primera equació del sistema per 2, obtenim el sistema equivalent \left\{\begin{array}{r} 6x-4y=2 \\ 5x+4y=2\end{array} \right.. Ara, si sumem ambdues equacions: x=\dfrac{4}{11}. Per trobar el valor de y, substituïm a qualsevol de les dues equacions del sistema original; per exemple, si substituïm a la primera: 3\left(\frac 4{11} \right) -2y = 1 \quad \Rightarrow \quad y= \dfrac 1{22}.

P3.-

(a) z_1+z_2+z_3=(2-i)+3i+(3+2i)=5+4i

(b) z_3-z_2=3+2i-3i=3-i

(c) z_1\cdot z_3= (2-i)\cdot (3+2i)=6+4i-3i-2i^2=6+i+2=8+i

(d) \dfrac {z_2}{z_3}=\dfrac{3i}{3+2i}=\dfrac{3i}{3+2i}\cdot \dfrac{3-2i}{3-2i}=\dfrac{9i+6}{3^2-(2i)^2}= \dfrac{6+9i}{9+4}=\dfrac{6+9i}{13}

P4.- Sigui H l’alçada a la qual vola l’helicòpter i $x$ la distància del peu de la perpendicular on es troba l’helicòpter al primer vaixell. El sistema d’equacions que cal resoldre és: \left\{ \begin{array}{l} \tan 50^\circ = \frac{H}{x} \\ \tan 30^\circ =\frac H{350+x} \end{array} \right..

Arribar a la solució, H=\dfrac{350\cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 50^\circ}{\tan 50^\circ - \tan 30^\circ}=392 m, és immediat :) !

P5.-

(a) -2\vec{u}+4\vec{v}= -2(-1,3)+4(2,-2)=(2,-6)+(8,-8)=(10,-14)

(b) \left(\vec{u}+\vec{v}\right)\cdot \vec{v}=\left[(-1,3)+(2,-2)\right]\cdot (2,-2)=(1,1)\cdot (2,-2)=0, de manera que els vectors \vec{u}+\vec{v} i \vec{v} són perpendiculars.

(c) \vec{u}\cdot \vec{v}=(-1,3)\cdot (2,-2)=-2-6=-8

(d) \cos (\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{-8}{\sqrt{(-1)^2+3^2}\sqrt{2^2+(-2)^2}}=\dfrac{-8}{\sqrt{10}\sqrt{8}}\quad \Rightarrow

\Rightarrow \quad (\vec{u},\vec{v})=\cos^{-1}\left(\dfrac{-8}{\sqrt{10} \sqrt{8}}\right)=153^\circ 26'.

Resolució Examen Geometria Analítica

sol_u6i7_2_1sol_u6i7_2_2sol_u6i7_2_3sol_u6i7_2_4

Unitat 8: Estadística i Probabilitat

Exemple de resolució de problemes en Probabilitat:

probabilitat_1_1probabilitat_1_2

6 respostes

3 04 2009
Robert (00:14:48) :

Ei Àlvar!! Mira que només podre anar demá a partir de les 18:00h, tinc que fer unes coses bastant importants, si no pasa res a les 18:00h estaré allá per poder fer el examen. Si no arribo? El examen compte? M´aniría bé…

Un abrazada!

Dew!

3 04 2009
Àlvar (06:44:44) :

Molt bé, Robert! T’esperem, doncs, a les 18 h per fer el simulacre d’examen.

8 04 2009
MILAGROS (10:45:55) :

hola Àlvar, sóc la Mila, em sembla que faltaríen les respostes de l’exercici 3,4 i 5, no??? d’aquests què has penjat, simulacre d’exàmen!!!

8 04 2009
Àlvar (13:53:15) :

Hola Mila! Sí, és veritat, vaig començar a fer l’examen i el vaig deixar a mitges… Ara m’hi poso! De moment, però, com ha anat la correcció? Segur que tenies molts ben fets! Bons dies de descans!

27 05 2009
Vicent (18:35:27) :

Hola Àlvar, com va? nomes dirte que he aprovat els examens de maig, ma quedat un 9.55 de mitja :D , no he aconseguit finalment el 10 en matematiques pro me kedat al 9.75 ke ya esta be :) doncs res Àlvar moltes gracies per tot.
Encantat i molta sort.
Una abraçada.

Vicent.

27 05 2009
Àlvar (20:53:17) :

Hola Vicent!! Estic encantat del teu comentari!!! Em sap molt de greu que no hagis aconseguit el 10 (d’altra banda, qui vol ser perfecte?! :) ). Està molt i molt be!!! Moltes felicitats!!!!!!!!!!!!
Crec que l’Eduard també ha aprovat: felicita’l de part meva, sisplau!!

Per a mi ha estat un plaer tenir-te a classe! Molta sort, Vicent!

Una abraçada,

Àlvar

Deixa un comentari