EPPA. Curs 08-09

Unitat 1: Conjunts numèrics

  1. El conjunt dels nombres reals.
    1. Nombres naturals, enters i racionals.
    2. Nombres irracionals.
  2. Ordre a la recta real. Intervals.
  3. Estimació i aproximació de quantitats.
    1. Truncament i arrodoniment.
    2. Errors.
  4. Potències i radicals.
  5. Notació científica.
  6. Logaritmes: definició i propietats. (Avaluació de logaritmes: EPPA 1 i EPPA 2.)

Activitats TAC Unitat 1

Model examen Unitat 1

Exàmens Unitat 1: EPPA 1 i EPPA 2

Unitat 2: Polinomis
  1. Expressions algebraiques: monomis i polinomis.
    1. Coeficients, part literal i grau d’un monomi i d’un polinomi.
  2. Operacions amb polinomis.
    1. Suma, resta i producte.
    2. Productes notables.
    3. Divisió.
  3. Divisió d’un polinomi per un polinomi del tipus x-a.
    1. Regla de Ruffini.
    2. Teorema del residu.
  4. Factorització de polinomis.
  5. Càlcul i simplificació de fraccions algebraiques.

Video explicatiu en què s’ensenya com dividir polinomis:

Problemes per presentar 1: EPPA 1, EPPA 2

Problemes per presentar 2: EPPA 1, EPPA 2

Exàmens de la unitat 2: EPPA 1, EPPA 2

Aquí us deixo les SOLUCIONS, esquemàtiques (es pretén que refeu l’examen), dels dos exàmens de polinomis:

EPPA 1

P1.- (a) 3\cdot Q(x) - R(x)= 6x^3+3x^2-2x-5; (b) (P(x)+Q(x))\cdot R(x) = 4x^4+2x^3-6x^2+1; (c) quocient = 2x+5, residu =8x-7; (d) (R(x))^2=4x^2-4x+1.

P2.- (a) P(x)=2x^3+mx^2+4x+1 divisible per x+1 vol dir que P(-1)=0. Aleshores, trobem que P(-1)=m-5=0 \Rightarrow m=5. (b) Dividim el polinomi P(x)=2x^3+mx^2+4x+1 per x-1 i el residu ha de ser -1. Aleshores, P(1)=-1 \Rightarrow m+7=-1 \Rightarrow m=-8.

P3.- (a) Quocient = x^4-x^3-x^2-3 i residu = 3; (b) Quocient = 2x^3+4x^2+5x+12 i residu = 23.

P4.- (a) P(x)=x^4+x^3-5x^2+3x=x\cdot (x-1)^2\cdot (x+3); (b) Q(x)=x^3-3x^2-6x+8=(x-4)\cdot (x-1)\cdot (x+2).

P5.- (a) \dfrac{x-2}{x-1}-\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)}-\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{-4x+6}{(x-1)(x-3)}; (b) \dfrac{(x+1)^2}{x^2-1}\cdot \dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2\cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)\cdot (x+1)}=1.

EPPA 2

P1.- (a) P(x)-3\cdot Q(x) = -x^2-17x; (b) (P(x)-5\cdot Q(x))\cdot R(x)=-28x^3-92x^2-79x-6; (c)Quocient = \frac 12 x - \frac{13}4, residu = \frac {51}4; (d) 4x^2+12x+9.

P2.- (a) P(x)=x^3+ax^2-3x+4 divisible per x-2 vol dir que P(2)=0. Aleshores, trobem que P(2)=4a+6=0 \Rightarrow m=-\frac 46=-\frac 32. (b) Dividim el polinomi P(x)=x^3+ax^2-3x+4 per x+1 i el residu ha de ser -2. Aleshores, P(-1)=-2 \Rightarrow a+6=-2 \Rightarrow a=-8.

P3.- (a) Quocient = 4x^2+6x+6, residu =9; (b) Quocient = 5x^5-10x^4+17x^3-31x^2+62x-131, residu =262.

P4.- (a) P(x)=x^3+2x^2-9x-18=(x-3)\cdot (x+2)\cdot (x+3); (b) Q(x)=x^4-x^3-3x^2+x+2=(x-2)\cdot (x-1)\cdot (x+1)^2.

P5.- (a) \dfrac{1}{x+2}+\dfrac 1{x+1}= \dfrac{x+1}{(x+2)(x+1)}+\dfrac{x+2}{(x+2)(x+1)}=\dfrac{2x+3}{(x+2)(x+1)}; (b) \dfrac{x-1}{x-3}:\dfrac{x^2-1}{x^2-9}=\dfrac{x-1}{x-3}:\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x+3}{x+1}.

Unitat 3: Equacions I
  1. Equacions de primer grau amb denominadors.
  2. Problemes que es resolen mitjançant equacions de primer grau.
  3. Repàs equacions de segon grau i problemes que es resolen mitjançant equacions de segon grau.
  4. Nombres complexos.
    1. Origen dels nombres complexos: equacions de segon grau amb radicand negatiu.
    2. Operacions amb nombres complexos.
  5. Sistemes d’equacions de primer grau: resolució i problemes.

Exàmens de la unitat 3: EPPA 1, EPPA 2

Aquí us deixo les SOLUCIONS, esquemàtiques (es pretén que refeu l’examen), dels dos exàmens de la unitat 3:

EPPA 1

P1.- (a) A l’equació \dfrac{x-10}2-\dfrac{x-20}4-\dfrac{x-30}3=5 en primer lloc caldrà eliminar les fraccions. Tenint present que \text{mc.m.}(2,4,3)=12, l’equació donada és equivalent a l’equació \dfrac{6(x-10)}{12}-\dfrac{3(x-20)}{12}-\dfrac{4(x-30)}{12}=\dfrac{60}{12} o, també, 6x-60-3x+60-4x+120=60. D’aquí deduïm la solució, x=60. (b) Per resoldre el sistema, només hem de multiplicar (per exemple) la primera equació per 3 (o, també, per 2). Així, quedarà -3x+6y=6. Sumant-li, ara la segona equació, obtenim y=2. I, d’aquí, substituint a qualsevol de les dues equacions del sistema original, x=2.

P2.- (a) Comencem aplicant la fórmula de resolució per a l’equació de segons grau. Aleshores: x= \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}=\dfrac{2\pm \sqrt{-16}}{2}. Com hem demanen resoldre l’equació en el conjunt dels nombres complexos, \pm \sqrt{-16} admet solució, \pm \sqrt{-16}= \pm 4i, on i és la unitat imaginària. Finalment, i prèvia simplificació, trobem que la solució és x=-1\pm 2i. (b) Procedint com en l’apartat anterior, x= \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 17}}{2} = \dfrac{-2\pm \sqrt{-64}}{2}=-1\pm 4i.

P3.- (a) -z=-2+3i; (b) \overline{z}=2+3i; (c) -\overline{z}=-2-3i; (d) \dfrac 1z = \dfrac 1{2-3i}=\dfrac 1{2-3i}\cdot \dfrac {2+3i}{2+3i} = \dfrac{2+3i}{2^2-(3i)^2} = \dfrac{2+3i}{13}, on hem introduït que i^2=-1.

P4.- (a) z_1+z_2=5+2i; (b) z_1-(z_2+z_3)=-1-9i; (c) z_1\cdot z_2 = 9+7i; (d) \dfrac{z_2}{z_3}=\dfrac{2+3i}{2+5i}\cdot \dfrac{2-5i}{2-5i}=\dfrac {19}{29}-\dfrac{4i}{29}.

P5.- (a) Sigui x l’edat que tinc ara. D’aquí 12 anys tindré x+12 i fa 6 anys tenia x-6. Per tant, l’equació que descriu la situació de l’enunciat és x+12=3(x-6). La seva solució és x=15; és a dir, tinc 15 anys. (b) L’edat d’un pare i d’un fill sumen 40. Sigui x l’edat del pare; aleshores, el fill tindrà 40-x. D’altra banda, l’edat del pare és 7 vegades l’edat del fill. Per tant, x=7(40-x). D’aquí deduïm x=35. Així, el pare té 35 anys i el fill 40-35=5 anys.

P6.- Sigui x l’amplada del terreny rectangular. Com fa 10 m més de llargada que d’amplada, x+10 és la mesura de l’amplada. Finalment, atès que la seva superfície (àrea) és de 1739 \text{m}^2, l’equació a resoldre és x(x+1)=1739. D’aquí deduïm x=37 m (la solució negativa no ho és del nostre problema). L’amplada, doncs, val 37 m i la llargada 47 m.

EPPA 2

P1.- (a) A l’equació \dfrac{4x+3}5-\dfrac{x-2}4=2-\dfrac{x+3}6 en primer lloc caldrà eliminar les fraccions. Tenint present que \text{mc.m.}(5,4,6)=60, l’equació donada és equivalent a l’equació \dfrac{12(4x+3)}{60}-\dfrac{15(x-2)}{60}=\dfrac{120}{60}-\dfrac{10(x+3)}{60} o, també, 48x+36-15x+30=120-10x-30. D’aquí deduïm la solució, x=\dfrac{24}{43}. (b) Per resoldre el sistema, només hem de multiplicar (per exemple) la primera equació per 3. Així, quedarà 9x-3y=6. Sumant-li, ara la segona equació, obtenim x=1. I, d’aquí, substituint a qualsevol de les dues equacions del sistema original, y=1.

P2.- (a) Comencem aplicant la fórmula de resolució per a l’equació de segons grau. Aleshores: x= \dfrac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 85}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{-324}}{2}. Com hem demanen resoldre l’equació en el conjunt dels nombres complexos, \pm \sqrt{-324} admet solució, \pm \sqrt{-324}= \pm 18i, on i és la unitat imaginària. Finalment, i prèvia simplificació, trobem que la solució és x=2\pm 9i. (b) Procedint com en l’apartat anterior, x= \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 17}}{2} = \dfrac{-2\pm \sqrt{-64}}{2}=-1\pm 4i.

P3.- (a) -z=-4-3i; (b) \overline{z}=4-3i; (c) -\overline{z}=-4+3i; (d) \dfrac 1z = \dfrac 1{4+3i}=\dfrac 1{4+3i}\cdot \dfrac {4-3i}{4-3i} = \dfrac{4-3i}{4^2-(3i)^2} = \dfrac{4-3i}{25}, on hem introduït que i^2=-1.

P4.- (a) z_1+z_2=5+2i; (b) z_1-(z_2+z_3)=-1-9i; (c) z_1\cdot z_2 = 9+7i; (d) \dfrac{z_2}{z_3}=\dfrac{2+3i}{2+5i}\cdot \dfrac{2-5i}{2-5i}=\dfrac {19}{29}-\dfrac{4i}{29}.

P5.- (a) Sigui x el nombre que busquem. Quan li sumem 4, x+4, resulta el doble del nombre menys una unita, 2x-1. Aleshores, l’equació que hem de resoldre és x+4=2x-1. D’aquí deduïm x=5. ATENCIÓ: també podíem haver interpretat l’enunciat com x+4=2(x-1). En aquest cas, x= 6 seria la solució. (b) Sigui x un nombre. Aleshores, el seu consecutiu és x+1. Atès que la diferència dels seus quadrats és 567, l’equació que cal resoldre és: (x+1)^2-x^2=567. El número que busquem és 283, que és la solució de l’equació anterior. El seu consecutiu és, per tant, 284.

P6.- Sigui x l’amplada del terreny rectangular. Com fa 60 m més de llargada que d’amplada, x+60 és la mesura de l’amplada. Finalment, atès que la seva superfície (àrea) és de 43200 \text{m}^2, l’equació a resoldre és x(x+1)=43200. D’aquí deduïm x=180 m (la solució negativa no ho és del nostre problema). L’amplada, doncs, val 180 m i la llargada 210 m.

Unitat 4: Equacions II
  1. Equacions irracionals.
  2. Sistemes d’equacions de segon grau: un exemple.
  3. Resolució d’equacions mitjançant factorització. (Aquí caldrà recordar la regla de Ruffini.)
  4. Equacions exponencials.
  5. Equacions logarítmiques.

Solucions al full extraordinari d’equacions exponencials i logarítmiques:

equacionsii

(a) 2\log x= 1 . D’aquí: \log x^2 = 1 i, aplicant la definició de logaritme, x^2 = 10 , és a dir, x= +\sqrt{10}. Atenció! La solució x=-\sqrt{10}, que també s’obté de x^2=10, no és vàlida en l’equació de l’enunciat, 2\log x= 1.

(b) De \log (x+2)=2 \log (3x-4) obtenim \log (x+2)=\log (3x-4)^2. Per tant, x+2=9x^2-24x+16. Ens queda, doncs, una equació de segon grau, x^2-25x+14=0, que té per solucions x=2 i x=\frac 79. D’aquestes, només és vàlida x=2.

(c) 2\log (x+3)=\log (2x+19) és equivalent a \log (x+3)^2=\log (2x+19). D’aquí, x^2+6x+9=3x+19. Passant tots els termes a un mateix costat de l’igual, i resolent l’equació de segon grau resultant, obtenim x=-5 i x=2. Només és vàlida, però, x=2.

(d) L’equació 2\log x - \log (x-16)=2 és equivalent a \log x^2 - \log (x-16) = 2. Alhora, aquesta ho és a \log \dfrac{x^2}{x-16}=2. Ara, aplicant la definició de logaritme, \dfrac{x^2}{x-16}=100, és a dir, x^2-100x+1600=0. Les solucions d’aquesta darrera equació són x=20 i x=80. En aquest cas, totes dues també són solucions de l’equació logarítmica original.

(e) Fixem-nos que 2^x + 5\cdot 2^x=12 equival a 6\cdot 2^x = 12. Per tant, 2^x = 2. És a dir, x=1. Aquesta mateixa equació també es pot resoldre amb el canvi de variable $t=2^x$.

(f) Am el canvi de variable t=7^x l’equació es transforma en t+\dfrac 1t=2, que també es pot escriure com t^2-2t+1=0. En aquest cas, no cal aplicar cap fórmula, doncs t^2-2t+1 és eldesenvolupament d’un producte notable, (t-1)^2. Per tant, l’equació a resoldre és (t-1)^2=0, amb solució t=1. Si desfem el canvi, 7^x = 1, obtenim x=1, la solució de l’equació original.

(g) De 4^{x+1}+16^{x+1}=2 tenim que 4\cdot 4^x+16\cdot 16^x=2, és a dir, 4\cdot 4^x+16\cdot (4^2)^x=2 o 4\cdot 4^x+16\cdot (4^x)^2=2. El canvi de variable a fer és t=4^x, que ens porta a l’equació de segon grau 16t^2+4t-2=0 o, simplificant els coeficients, 8t^2+2t-1=0. Les solucions són t=\frac 12 i t=-\frac 12. Aquesta darrera solució no ens permet obtenir cap valor de x. De la primera, i desfent el canvi, 4^x = \dfrac 14, tenim que x=-1, doncs \frac 14 = 4^{-1}.

(h) 5^x=3^{x+1}. Prenent logaritmes, x\cdot \log 5 = (x+1)\cdot \log 3, o també, 0.70x = (x+1)\cdot 0.48. Ens queda, doncs, una equació de primer grau amb solució x=2.1.

Exàmens de la unitat 4: EPPA 1, EPPA 2

Unitat 5: Geometria i trigonometria

  1. Teorema de Pitàgores.
  2. Mesura d’angles. El radian.
  3. Raons trigonomètriques d’un angle angut.
  4. Ús de la calculadora.
  5. Raons trigonomètriques dels angles de 30º, 45º i 60º.
  6. Resolució de triangles rectangles.
  7. Aplicació a triangles no rectangles.

Una demostració del teorema de Pitàgores:

Explicació bàsica sobre raons trigonomètriques i exemple d’aplicació:

Examen de la unitat 5: EPPA

Unitat 6: Vectors al pla
  1. Vectors.
    1. Definició. Mòdul, direcció i sentit d’un vector.
    2. Operacions amb vectors.
    3. Angle entre vectors. Paral·lelisme i perpendicularitat.
  2. Equacions de la recta.
  3. Posicions relatives de dues rectes.
  4. Distància d’un punt a una recta.

Vectors: elements característics:

Operacions amb vectors, gràficament:

Càlcul del mòdul d’un vector. Considerarem, a tall d’exemple, que volem calcular el mòdul del vector \vec{v}=(3,-4), i ho simbolitzarem com |\vec{v}|. Si representem el vector \vec{v}, tal i com vam, fer a classe, veurem que, el càlcul del mòdul, es redueix a aplicar el teorema de Pitàgores. Així:

|\vec{v}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

és el mòdul, o longitud, del vector \vec{v}.

Producte escalar de dos vectors. El producte escalar de dos vectors \vec{u} i \vec{v}, i l’escriurem \vec{u}\cdot \vec{v}, és una operació entre vectors que dóna, com a resultat, NO un vector, sinó un NOMBRE real. Existeix una primera definició per al càlcul d’aquest producte, en termes dels mòduls dels vectors i del cosinus de l’angle que formen aquests vectors en el pla:

\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos (\vec{u},\vec{v})

Però, si els vectors estan donats en components, \vec{u}=(u_x,u_y) i \vec{v}=(v_x,v_y), aleshores també es pot utilitzar la següent definició per al producte escalar:

\vec{u}\cdot \vec{v} = u_xv_x+u_yv_y

Angle entre dos vectors. Si igualem les dues expressions per al producte escalar, podem aillar el cosinus de l’angle que formen tots dos vectors i, a partir d’aquí, calcular precisament aquest angle:

|\vec{u}| |\vec{v}| \cos (\vec{u},\vec{v}) = u_xv_x+u_yv_y \quad \Rightarrow \quad \cos (\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{u_xv_x+u_yv_y}{|\vec{u}| |\vec{v}|}

Vectors perpendiculars. Si dos vectors són perpendiculars, o ortogonals, sabem, formen un l’angle de 90^\circ, (\vec{u},\vec{v})=90^\circ. Aleshores, i com \cos 90^\circ=0, tenim que \vec{u}\cdot \vec{v} = 0. Per tant, si el producte escalar de dos vectors és zero, aquests vectors són perpendiculars.

Unitat 7: Funcions

limits

Resolució Simulacre examen 1

simulacre_1P1.-

(a) 2\sqrt{18} + 3\sqrt{50}=2\sqrt{2\cdot 3^2} + 3\sqrt{2\cdot 5^2}=6\sqrt{2}+15\sqrt{2}=21\sqrt{2}

(b) \log 100 - \ln e^2=\log 10^2 - \ln e^2 = 2-2=0

(c) 2.1\hat{5}=\dfrac{215-21}{90}=\dfrac{194}{90}=\dfrac{97}{45}

(d) \dfrac{12a^2b^2}{24a^3b^{-1}} = \dfrac{b^4}{2a}

(e) \dfrac{\sqrt[4]{15}}{\sqrt[4]{5}}=\sqrt[4]{\dfrac{15}5}=\sqrt[4]{3}

(f) (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1

(g) \dfrac{5}{\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}5=\dfrac{5\sqrt{5}}5 - \dfrac{\sqrt{5}}5=\dfrac{4\sqrt{5}}5

(h) 2\sqrt{45}-3\sqrt{125}+2\sqrt{180}=2\sqrt{3^2\cdot 5}-3\sqrt{5^3}+2\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 5}=

=6\sqrt{5}-15\sqrt{5}+12\sqrt{5}=3\sqrt{5}

P2.-

(a) En primer lloc, cal treure denominador comú: \dfrac{15(x+1)}{10}-\dfrac{10x}{10}=\dfrac{2(x-4)}{10}, equació que és equivalent a 15(x+1)-10x=2(x-4). Resolent els parèntesis i reordenant obtenim 15x-10x-2x = -8-15. Per tant, la solució serà x=-\dfrac {23}3.

(b) Si multipliquem la primera equació del sistema per 2, obtenim el sistema equivalent \left\{\begin{array}{r} 6x-4y=2 \\ 5x+4y=2\end{array} \right.. Ara, si sumem ambdues equacions: x=\dfrac{4}{11}. Per trobar el valor de y, substituïm a qualsevol de les dues equacions del sistema original; per exemple, si substituïm a la primera: 3\left(\frac 4{11} \right) -2y = 1 \quad \Rightarrow \quad y= \dfrac 1{22}.

P3.-

(a) z_1+z_2+z_3=(2-i)+3i+(3+2i)=5+4i

(b) z_3-z_2=3+2i-3i=3-i

(c) z_1\cdot z_3= (2-i)\cdot (3+2i)=6+4i-3i-2i^2=6+i+2=8+i

(d) \dfrac {z_2}{z_3}=\dfrac{3i}{3+2i}=\dfrac{3i}{3+2i}\cdot \dfrac{3-2i}{3-2i}=\dfrac{9i+6}{3^2-(2i)^2}= \dfrac{6+9i}{9+4}=\dfrac{6+9i}{13}

P4.- Sigui H l’alçada a la qual vola l’helicòpter i $x$ la distància del peu de la perpendicular on es troba l’helicòpter al primer vaixell. El sistema d’equacions que cal resoldre és: \left\{ \begin{array}{l} \tan 50^\circ = \frac{H}{x} \\ \tan 30^\circ =\frac H{350+x} \end{array} \right..

Arribar a la solució, H=\dfrac{350\cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 50^\circ}{\tan 50^\circ - \tan 30^\circ}=392 m, és immediat :)!

P5.-

(a) -2\vec{u}+4\vec{v}= -2(-1,3)+4(2,-2)=(2,-6)+(8,-8)=(10,-14)

(b) \left(\vec{u}+\vec{v}\right)\cdot \vec{v}=\left[(-1,3)+(2,-2)\right]\cdot (2,-2)=(1,1)\cdot (2,-2)=0, de manera que els vectors \vec{u}+\vec{v} i \vec{v} són perpendiculars.

(c) \vec{u}\cdot \vec{v}=(-1,3)\cdot (2,-2)=-2-6=-8

(d) \cos (\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{-8}{\sqrt{(-1)^2+3^2}\sqrt{2^2+(-2)^2}}=\dfrac{-8}{\sqrt{10}\sqrt{8}}\quad \Rightarrow

\Rightarrow \quad (\vec{u},\vec{v})=\cos^{-1}\left(\dfrac{-8}{\sqrt{10} \sqrt{8}}\right)=153^\circ 26'.

Resolució Examen Geometria Analítica

sol_u6i7_2_1sol_u6i7_2_2sol_u6i7_2_3sol_u6i7_2_4

Unitat 8: Estadística i Probabilitat

Exemple de resolució de problemes en Probabilitat:

probabilitat_1_1probabilitat_1_2

7 responses

3 04 2009
Robert

Ei Àlvar!! Mira que només podre anar demá a partir de les 18:00h, tinc que fer unes coses bastant importants, si no pasa res a les 18:00h estaré allá per poder fer el examen. Si no arribo? El examen compte? M´aniría bé…

Un abrazada!

Dew!

3 04 2009
Àlvar

Molt bé, Robert! T’esperem, doncs, a les 18 h per fer el simulacre d’examen.

8 04 2009
MILAGROS

hola Àlvar, sóc la Mila, em sembla que faltaríen les respostes de l’exercici 3,4 i 5, no??? d’aquests què has penjat, simulacre d’exàmen!!!

8 04 2009
Àlvar

Hola Mila! Sí, és veritat, vaig començar a fer l’examen i el vaig deixar a mitges… Ara m’hi poso! De moment, però, com ha anat la correcció? Segur que tenies molts ben fets! Bons dies de descans!

27 05 2009
Vicent

Hola Àlvar, com va? nomes dirte que he aprovat els examens de maig, ma quedat un 9.55 de mitja😀, no he aconseguit finalment el 10 en matematiques pro me kedat al 9.75 ke ya esta be🙂 doncs res Àlvar moltes gracies per tot.
Encantat i molta sort.
Una abraçada.

Vicent.

27 05 2009
Àlvar

Hola Vicent!! Estic encantat del teu comentari!!! Em sap molt de greu que no hagis aconseguit el 10 (d’altra banda, qui vol ser perfecte?! :)). Està molt i molt be!!! Moltes felicitats!!!!!!!!!!!!
Crec que l’Eduard també ha aprovat: felicita’l de part meva, sisplau!!

Per a mi ha estat un plaer tenir-te a classe! Molta sort, Vicent!

Una abraçada,

Àlvar

23 02 2010
lipSofpesee-online

Vaig aprendre molt

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s




%d bloggers like this: